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El número de moléculas cuya velocidad está comprendida
entre v y v+dv, es decir, entre vx y
vx+dvx, vy y vy+dvy,
vz y vz+dvz, de acuerdo a la
ley de Boltzman es
donde dv es un elemento de volumen en el espacio
de las velocidades
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Para integrar, expresamos el elemento de volumen dv
en el espacio de velocidades en coordenadas polares. Para ello,
-
Trazamos dos
esferas concéntricas de radio v y v+dv.
-
Cortamos las esferas por dos planos meridianos que
pasan por los ángulos φ y φ+dφ.
-
Finalmente, cortamos las esferas por dos planos
paralelos de ángulos θ, y θ+dθ
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El volumen comprendido es paralepípedo elemental de
color gris de la figura tiene por lados
dv
v·senθ·dφ
v·dθ
Su volumen es
dv=v2·senθ·dv·dθ·dφ
Se define el flujo Φ, como el número de moléculas que
chocan contra la pared por unidad de área y unidad de tiempo.
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Calculamos primero, el número de moléculas con
velocidad v que chocan contra una porción de pared de área A
en el tiempo dt, que se mueven en una dirección que hace un ángulo
θ con la normal a la pared, que son las contenidas en el volumen cilíndrico
de base A y altura v·cosθ·dt. Se multiplica el número
de moléculas por unidad de volumen (dn/V) por el volumen del cilindro
de la figura. |
(dn/V)·A·v·cosθ·dt.
El número de moléculas con velocidad v que
chocan contra la pared por unidad de área y unidad de tiempo es
(dn/V)·v·cosθ
Para calcular la integral triple, establecemos los
límites de integración para las variables v, φ y θ.
Los límites de la primera integral respecto de φ,
son 0 y 2π, se integra para todos los ángulos, pero solamente se integra
para ángulos θ comprendidos entre 0 y π/2, ya que cuando θ>π/2,
v·cosθ se hace negativa y la partícula se aleja de la pared.
Por último, se integra para todas las velocidades, desde 0 a ∞.
El flujo es
Para llegar a este resultado se han empleado las
integrales
La
velocidad media de las moléculas de un gas la hemos
calculado en la página anterior
Actividades
Se introduce
-
El gas, eligiéndolo en el control de selección titulado
Gases.
-
La temperatura (en K), en el control de edición
titulado Temperartura
-
El área del orificio practicado en el recipiente (en mm2),
en el control de edición titulado Area orificio.
-
La presión inicial p0 se ha fijado en
1 atm
-
El volumen V del recipiente se ha fijado en 3.5
litros.
Se pulsa el botón titulado Empieza.
Se observa, como disminuye la presión a medida que se
escapan las moléculas del gas por el orificio practicado en el recipiente.
En la parte derecha del applet, hay un manómetro de
mercurio que nos señala la presión p en cada instante t. En la
parte izquierda, se representa la presión (en atm) en el eje vertical, en
función del tiempo (en minutos) en el eje horizontal.
Cada minuto, se toma una medida de la presión, y se
guarda los pares de datos (tiempo, presión) en el control área de texto
situado en la parte izquierda del applet.
Una vez que se hayan completado todas las medidas, se
pulsa el botón titulado Gráfica. Se representa los resultados
“experimentales” en “papel” semilogarítmico, y la recta que mejor ajusta. En
el eje horizontal se representa el tiempo (en minutos), en el eje vertical
el logaritmo decimal de la presión.
A partir de esta gráfica calculamos la constante de
tiempo
y conocida el área del orificio A y el volumen
del recipiente V, determinamos la velocidad media <v> de las
moléculas del gas elegido a la temperatura dada T.
Datos
|
Vapor de la sustancia |
Masa molecular (g) |
|
Hidrógeno (H2) |
2 |
|
Oxígeno (O2) |
32 |
|
Nitrógeno (N2) |
28 |
|
Helio (He) |
4 |
|
Neón (Ne) |
10 |
|
Argón (Ar) |
18 |
-
Constante de Boltzmann k= 1.3805·10-23
J/K
-
Número de Avogadro NA=6.0225·1023
mol-1
-
Densidad del mercurio ρ=13550 kg/m3
-
Presión atmosférica p0=1 atm=1.013·105
Pa
Ejemplo:
 |
Para medir la presión se utiliza un manómetro de
mercurio. Como el gas sale del recipiente su presión disminuye hasta que se
hace cero (en un tiempo teóricamente infinito). En el manómetro abierto, las
dos ramas estarán equilibradas (a la misma altura) en el instante inicial
cuando la presión del gas contenido en el recipiente es p0=1.0
atm. |
Cuando la presión p del recipiente disminuye hay una diferencia
2h en el nivel en las dos ramas del líquido manométrico. La
diferencia de presión
p0-p=ρg2h
Ejemplo
La diferencia de las alturas de
las dos ramas del líquido manométrico es de 2·13.5 cm. Calcular la presión
p en el recipiente
p=1.013·105-13550·9.8·2·0.135=65447
Pa
p=65447/1.013·105=0.64 atm
Sea un recipiente de V=3.5 litros que contiene
Neón a la temperatura de T=293 K. Se hace un orificio en el
recipiente de área A=0.1 mm2. Determinar la velocidad
media de las moléculas de neón a dicha temperatura.
Los resultados “experimentales” se representan en
“papel semilogarítmico”, tal como se muestra en la figura.
Observamos que para t=10 min le corresponde log10p=-1.47,
con estos datos calculamos la constante de tiempo.
La velocidad media es <v>=789.8 m/s, para la
temperatura de 293 K
Calculamos la
velocidad media mediante la fórmula
En la parte inferior del applet se proporciona la
constante de tiempo, para que podamos comparar con los cálculos realizados
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